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# 图论理论基础
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这一篇我们正式开始图论！
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代码随想录图论中的算法题目将统一使用ACM模式，[为什么要使用ACM模式](./图论为什么用ACM模式.md)
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## 图的基本概念
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二维坐标中，两点可以连成线，多个点连成的线就构成了图。
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当然图也可以就一个节点，甚至没有节点（空图）
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### 图的种类
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整体上一般分为 有向图 和 无向图。
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有向图是指 图中边是有方向的：
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无向图是指 图中边没有方向：
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加权有向图，就是图中边是有权值的，例如：
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加权无向图也是同理。
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### 度
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无向图中有几条边连接该节点，该节点就有几度。
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例如，该无向图中，节点4的度为5，节点6的度为3。
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在有向图中，每个节点有出度和入度。
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出度：从该节点出发的边的个数。
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入度：指向该节点边的个数。
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例如，该有向图中，节点3的入度为2，出度为1，节点1的入度为0，出度为2。
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## 连通性
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在图中表示节点的连通情况，我们称之为连通性。
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### 连通图
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在无向图中，任何两个节点都是可以到达的，我们称之为连通图 ，如图：
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如果有节点不能到达其他节点，则为非连通图，如图：
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节点1 不能到达节点4。
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### 强连通图
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在有向图中，任何两个节点是可以相互到达的，我们称之为 强连通图。
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这里有录友可能想，这和无向图中的连通图有什么区别，不是一样的吗？
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我们来看这个有向图：
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这个图是强连通图吗？
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初步一看，好像这节点都连着呢，但这不是强连通图，节点1 可以到节点5，但节点5 不能到 节点1 。
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强连通图是在有向图中**任何两个节点是可以相互到达**
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下面这个有向图才是强连通图：
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### 连通分量
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在无向图中的极大连通子图称之为该图的一个连通分量。
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只看概念大家可能不理解，我来画个图：
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该无向图中 节点1、节点2、节点5 构成的子图就是 该无向图中的一个连通分量，该子图所有节点都是相互可达到的。
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同理，节点3、节点4、节点6 构成的子图 也是该无向图中的一个连通分量。
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那么无向图中 节点3 、节点4 构成的子图 是该无向图的联通分量吗？
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不是！
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因为必须是极大联通子图才能是连通分量，所以 必须是节点3、节点4、节点6 构成的子图才是连通分量。
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在图论中，连通分量是一个很重要的概念，例如岛屿问题（后面章节会有专门讲解）其实就是求连通分量。
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### 强连通分量
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在有向图中极大强连通子图称之为该图的强连通分量。
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如图：
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节点1、节点2、节点3、节点4、节点5 构成的子图是强连通分量，因为这是强连通图，也是极大图。
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节点6、节点7、节点8 构成的子图 不是强连通分量，因为这不是强连通图，节点8 不能达到节点6。
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节点1、节点2、节点5 构成的子图 也不是 强连通分量，因为这不是极大图。
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## 图的构造
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我们如何用代码来表示一个图呢？
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一般使用邻接表、邻接矩阵 或者用类来表示。
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主要是 朴素存储、邻接表和邻接矩阵。
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关于朴素存储，这是我自创的名字，因为这种存储方式，就是将所有边存下来。
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例如图：
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图中有8条边，我们就定义 8 * 2的数组，即有n条边就申请n * 2，这么大的数组：
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数组第一行：6 7，就表示节点6 指向 节点7，以此类推。
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当然可以不用数组，用map，或者用 类 到可以表示出 这种边的关系。
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这种表示方式的好处就是直观，把节点与节点之间关系很容易展现出来。
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但如果我们想知道 节点1 和 节点6 是否相连，我们就需要把存储空间都枚举一遍才行。
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这是明显的缺点，同时，我们在深搜和广搜的时候，都不会使用这种存储方式。
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因为 搜索中，需要知道 节点与其他节点的链接情况，而这种朴素存储，都需要全部枚举才知道链接情况。
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在图论章节的后面文章讲解中，我会举例说明的。大家先有个印象。
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### 邻接矩阵
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邻接矩阵 使用 二维数组来表示图结构。 邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。
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例如： grid[2][5] = 6，表示 节点 2 连接 节点5 为有向图，节点2 指向 节点5，边的权值为6。
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如果想表示无向图，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6，表示节点2 与 节点5 相互连通，权值为6。
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如图：
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在一个 n （节点数）为8 的图中，就需要申请 8 * 8 这么大的空间。
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图中有一条双向边，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6
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这种表达方式（邻接矩阵） 在 边少，节点多的情况下，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。
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而且在寻找节点连接情况的时候，需要遍历整个矩阵，即 n * n 的时间复杂度，同样造成时间浪费。
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邻接矩阵的优点：
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* 表达方式简单，易于理解
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* 检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
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* 适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。
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缺点：
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* 遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费 且遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费
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### 邻接表
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邻接表 使用 数组 + 链表的方式来表示。 邻接表是从边的数量来表示图，有多少边 才会申请对应大小的链表。
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邻接表的构造如图：
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这里表达的图是：
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* 节点1 指向 节点3 和 节点5
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* 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
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* 节点3 指向 节点4
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* 节点4指向节点1
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有多少边 邻接表才会申请多少个对应的链表节点。
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从图中可以直观看出 使用 数组 + 链表 来表达 边的连接情况 。
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邻接表的优点：
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* 对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
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* 遍历节点连接情况相对容易
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缺点：
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* 检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点连接其他节点的数量。
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* 实现相对复杂，不易理解
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**以上大家可能理解比较模糊，没关系**，因为大家还没做过图论的题目，对于图的表达没有概念。
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这里我先不给出具体的实现代码，大家先有个初步印象，在后面算法题实战中，我还会讲到具体代码实现，等带大家做算法题，写了代码之后，自然就理解了。
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## 图的遍历方式
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图的遍历方式基本是两大类：
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* 深度优先搜索（dfs）
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* 广度优先搜索（bfs）
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在讲解二叉树章节的时候，其实就已经讲过这两种遍历方式。
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二叉树的递归遍历，是dfs 在二叉树上的遍历方式。
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二叉树的层序遍历，是bfs 在二叉树上的遍历方式。
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dfs 和 bfs 一种搜索算法，可以在不同的数据结构上进行搜索，在二叉树章节里是在二叉树这样的数据结构上搜索。
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而在图论章节，则是在图（邻接表或邻接矩阵）上进行搜索。
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## 总结
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以上知识点 大家先有个印象，上面提到的每个知识点，其实都需要大篇幅才能讲明白的。
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我这里先给大家做一个概括，后面章节会针对每个知识点都会有对应的算法题和针对性的讲解，大家再去深入学习。
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图论是非常庞大的知识体系，上面的内容还不足以概括图论内容，仅仅是理论基础而已。
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在图论章节我会带大家深入讲解 深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、并查集、拓扑排序、最小生成树系列、最短路算法系列等等。
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敬请期待！
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