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# 494.目标和 [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/target-sum/) 难度：中等给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。示例： * 输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3 * 输出：5 解释： * -1+1+1+1+1 = 3 * +1-1+1+1+1 = 3 * +1+1-1+1+1 = 3 * +1+1+1-1+1 = 3 * +1+1+1+1-1 = 3 一共有5种方法让最终目标和为3。提示： * 数组非空，且长度不会超过 20 。 * 初始的数组的和不会超过 1000 。 * 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。 ## 算法公开课 **[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包有多少种方法？| LeetCode：494.目标和](https://www.bilibili.com/video/BV1o8411j73x/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。 ## 思路如果对背包问题不都熟悉先看这两篇： * [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) * [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html) 如果跟着「代码随想录」一起学过[回溯算法系列](https://programmercarl.com/回溯总结.html)的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以爆搜出来。事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时。这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。本题要如何使表达式结果为target，既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。 left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left 公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。 target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。 ### 回溯算法在回溯算法系列中，一起学过这道题目[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)的录友应该感觉很熟悉，这不就是组合总和问题么？此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码： ```CPP class Solution { private: vector> result; vector path; void backtracking(vector& candidates, int target, int sum, int startIndex) { if (sum == target) { result.push_back(path); } // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历 for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) { sum += candidates[i]; path.push_back(candidates[i]); backtracking(candidates, target, sum, i + 1); sum -= candidates[i]; path.pop_back(); } } public: int findTargetSumWays(vector& nums, int S) { int sum = 0; for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i]; if (S > sum) return 0; // 此时没有方案 if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要格外小心数值溢出的问题 int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和 // 以下为回溯法代码 result.clear(); path.clear(); sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序 backtracking(nums, bagSize, 0, 0); return result.size(); } }; ``` 当然以上代码超时了。也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规吧 ### 动态规划如何转化为01背包问题呢。假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。所以我们要求的是 x - (sum - x) = target x = (target + sum) / 2 **此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法**。这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。这么担心就对了，例如sum是5，target是2 的话其实就是无解的，所以： ```CPP （C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target） if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案 ``` 同时如果target 的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。 ```CPP if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案 ``` 再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？因为每个物品（题目中的1）只用一次！这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。 1. 确定dp数组以及下标的含义 dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。下面我都是统一使用一维数组进行讲解，二维降为一维（滚动数组），其实就是上一层拷贝下来，这个我在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)也有介绍。 2. 确定递推公式有哪些来源可以推出dp[j]呢？只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。例如：dp[j]，j 为5， * 已经有一个1（nums[i]）的话，有 dp[4]种方法凑成容量为5的背包。 * 已经有一个2（nums[i]）的话，有 dp[3]种方法凑成容量为5的背包。 * 已经有一个3（nums[i]）的话，有 dp[2]种方法凑成容量为5的背包 * 已经有一个4（nums[i]）的话，有 dp[1]种方法凑成容量为5的背包 * 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法凑成容量为5的背包那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。所以求组合类问题的公式，都是类似这种： ``` dp[j] += dp[j - nums[i]] ``` **这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！** 3. dp数组如何初始化从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1，也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。可能有同学想了，那如果是数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。其实此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。 dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。 4. 确定遍历顺序在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。 5. 举例推导dp数组输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3 bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4 dp数组状态变化如下： ![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210125120743274.jpg) C++代码如下： ```CPP class Solution { public: int findTargetSumWays(vector& nums, int target) { int sum = 0; for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i]; if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案 if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案 int bagSize = (target + sum) / 2; vector dp(bagSize + 1, 0); dp[0] = 1; for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) { dp[j] += dp[j - nums[i]]; } } return dp[bagSize]; } }; ``` * 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量 * 空间复杂度：O(m)，m为背包容量 ## 总结此时大家应该不禁想起，我们之前讲过的[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)是不是应该也可以用dp来做啊？是的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法爆搜的。本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为： ```CPP dp[j] += dp[j - nums[i]]; ``` 后面我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！ ## 其他语言版本 ### Java ```java class Solution { public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) { int sum = 0; for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i]; //如果target的绝对值大于sum，那么是没有方案的 if (Math.abs(target) > sum) return 0; //如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是没有方案的 if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; int bagSize = (target + sum) / 2; int[] dp = new int[bagSize + 1]; dp[0] = 1; for (int i = 0; i < nums.length; i++) { for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) { dp[j] += dp[j - nums[i]]; } } return dp[bagSize]; } } ``` 易于理解的二维数组版本： ```java class Solution { public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) { // 01背包应用之“有多少种不同的填满背包最大容量的方法“ // 易于理解的二维数组解法及详细注释 int sum = 0; for(int i = 0; i < nums.length; i++) { sum += nums[i]; } // 注意nums[i] >= 0的题目条件，意味着sum也是所有nums[i]的绝对值之和 // 这里保证了sum + target一定是大于等于零的，也就是left大于等于零（毕竟我们定义left大于right） if(sum < Math.abs(target)){ return 0; } // 利用二元一次方程组将left用target和sum表示出来（替换掉right组合），详见代码随想录对此题的分析 // 如果所求的left数组和为小数，则作为整数数组的nums里的任何元素自然是没有办法凑出这个小数的 if((sum + target) % 2 != 0) { return 0; } int left = (sum + target) / 2; // dp[i][j]：遍历到数组第i个数时， left为j时的能装满背包的方法总数 int[][] dp = new int[nums.length][left + 1]; // 初始化最上行（dp[0][j])，当nums[0] == j时（注意nums[0]和j都一定是大于等于零的，因此不需要判断等于-j时的情况），有唯一一种取法可取到j，dp[0][j]此时等于1 // 其他情况dp[0][j] = 0 // java整数数组默认初始值为0 if (nums[0] <= left) { dp[0][nums[0]] = 1; } // 初始化最左列（dp[i][0]) // 当从nums数组的索引0到i的部分有n个0时（n > 0)，每个0可以取+/-，因此有2的n次方中可以取到j = 0的方案 // n = 0说明当前遍历到的数组部分没有0全为正数，因此只有一种方案可以取到j = 0（就是所有数都不取） int numZeros = 0; for(int i = 0; i < nums.length; i++) { if(nums[i] == 0) { numZeros++; } dp[i][0] = (int) Math.pow(2, numZeros); } // 递推公式分析： // 当nums[i] > j时，这时候nums[i]一定不能取，所以是dp[i - 1][j]种方案数 // nums[i] <= j时，num[i]可取可不取，因此方案数是dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]] // 由递推公式可知，先遍历i或j都可 for(int i = 1; i < nums.length; i++) { for(int j = 1; j <= left; j++) { if(nums[i] > j) { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; } else { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]; } } } // 打印dp数组 // for(int i = 0; i < nums.length; i++) { // for(int j = 0; j <= left; j++) { // System.out.print(dp[i][j] + " "); // } // System.out.println(""); // } return dp[nums.length - 1][left]; } } ``` ### Python 回溯版 ```python class Solution: def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result): if total == target: result.append(path[:]) # 将当前路径的副本添加到结果中 # 如果 sum + candidates[i] > target，则停止遍历 for i in range(startIndex, len(candidates)): if total + candidates[i] > target: break total += candidates[i] path.append(candidates[i]) self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, path, result) total -= candidates[i] path.pop() def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int: total = sum(nums) if target > total: return 0 # 此时没有方案 if (target + total) % 2 != 0: return 0 # 此时没有方案，两个整数相加时要注意数值溢出的问题 bagSize = (target + total) // 2 # 转化为组合总和问题，bagSize就是目标和 # 以下是回溯法代码 result = [] nums.sort() # 需要对nums进行排序 self.backtracking(nums, bagSize, 0, 0, [], result) return len(result) ``` 二维DP ```python class Solution: def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int: total_sum = sum(nums) # 计算nums的总和 if abs(target) > total_sum: return 0 # 此时没有方案 if (target + total_sum) % 2 == 1: return 0 # 此时没有方案 target_sum = (target + total_sum) // 2 # 目标和 # 创建二维动态规划数组，行表示选取的元素数量，列表示累加和 dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)] # 初始化状态 dp[0][0] = 1 # 动态规划过程 for i in range(1, len(nums) + 1): for j in range(target_sum + 1): dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 不选取当前元素 if j >= nums[i - 1]: dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]] # 选取当前元素 return dp[len(nums)][target_sum] # 返回达到目标和的方案数 ``` 一维DP ```python class Solution: def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int: total_sum = sum(nums) # 计算nums的总和 if abs(target) > total_sum: return 0 # 此时没有方案 if (target + total_sum) % 2 == 1: return 0 # 此时没有方案 target_sum = (target + total_sum) // 2 # 目标和 dp = [0] * (target_sum + 1) # 创建动态规划数组，初始化为0 dp[0] = 1 # 当目标和为0时，只有一种方案，即什么都不选 for num in nums: for j in range(target_sum, num - 1, -1): dp[j] += dp[j - num] # 状态转移方程，累加不同选择方式的数量 return dp[target_sum] # 返回达到目标和的方案数 ``` ### Go ```go func findTargetSumWays(nums []int, target int) int { sum := 0 for _, v := range nums { sum += v } if abs(target) > sum { return 0 } if (sum+target)%2 == 1 { return 0 } // 计算背包大小 bag := (sum + target) / 2 // 定义dp数组 dp := make([]int, bag+1) // 初始化 dp[0] = 1 // 遍历顺序 for i := 0; i < len(nums); i++ { for j := bag; j >= nums[i]; j-- { //推导公式 dp[j] += dp[j-nums[i]] //fmt.Println(dp) } } return dp[bag] } func abs(x int) int { return int(math.Abs(float64(x))) } ``` ### Javascript ```javascript const findTargetSumWays = (nums, target) => { const sum = nums.reduce((a, b) => a+b); if(Math.abs(target) > sum) { return 0; } if((target + sum) % 2) { return 0; } const halfSum = (target + sum) / 2; let dp = new Array(halfSum+1).fill(0); dp[0] = 1; for(let i = 0; i < nums.length; i++) { for(let j = halfSum; j >= nums[i]; j--) { dp[j] += dp[j - nums[i]]; } } return dp[halfSum]; }; ``` ### TypeScript ```ts function findTargetSumWays(nums: number[], target: number): number { // 把数组分成两个组合left, right.left + right = sum, left - right = target. const sum: number = nums.reduce((a: number, b: number): number => a + b); if ((sum + target) % 2 || Math.abs(target) > sum) return 0; const left: number = (sum + target) / 2; // 将问题转化为装满容量为left的背包有多少种方法 // dp[i]表示装满容量为i的背包有多少种方法 const dp: number[] = new Array(left + 1).fill(0); dp[0] = 1; // 装满容量为0的背包有1种方法（什么也不装） for (let i: number = 0; i < nums.length; i++) { for (let j: number = left; j >= nums[i]; j--) { dp[j] += dp[j - nums[i]]; } } return dp[left]; }; ``` ### Scala ```scala object Solution { def findTargetSumWays(nums: Array[Int], target: Int): Int = { var sum = nums.sum if (math.abs(target) > sum) return 0 // 此时没有方案 if ((sum + target) % 2 == 1) return 0 // 此时没有方案 var bagSize = (sum + target) / 2 var dp = new Array[Int](bagSize + 1) dp(0) = 1 for (i <- 0 until nums.length; j <- bagSize to nums(i) by -1) { dp(j) += dp(j - nums(i)) } dp(bagSize) } } ``` ### Rust ```rust impl Solution { pub fn find_target_sum_ways(nums: Vec, target: i32) -> i32 { let sum = nums.iter().sum::(); if target.abs() > sum { return 0; } if (target + sum) % 2 == 1 { return 0; } let size = (sum + target) as usize / 2; let mut dp = vec![0; size + 1]; dp[0] = 1; for n in nums { for s in (n as usize..=size).rev() { dp[s] += dp[s - n as usize]; } } dp[size] } } ``` ### C ```c int getSum(int * nums, int numsSize){ int sum = 0; for(int i = 0; i < numsSize; i++){ sum += nums[i]; } return sum; } int findTargetSumWays(int* nums, int numsSize, int target) { int sum = getSum(nums, numsSize); int diff = sum - target; // 两种情况不满足 if(diff < 0 || diff % 2 != 0){ return 0; } int bagSize = diff / 2; int dp[numsSize + 1][bagSize + 1]; dp[0][0] = 1; for(int i = 1; i <= numsSize; i++){ int num = nums[i - 1]; for(int j = 0; j <= bagSize; j++){ dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if(j >= num){ dp[i][j] += dp[i - 1][j - num]; } } } return dp[numsSize][bagSize]; } ``` ### C# ```csharp public class Solution { public int FindTargetSumWays(int[] nums, int target) { int sum = 0; foreach (int num in nums) { sum += num; } if (Math.Abs(target) > sum) return 0; if ((sum + target) % 2 == 1) return 0; int bagSize = (sum + target) / 2; int[] dp = new int[bagSize + 1]; dp[0] = 1; for (int i = 0; i < nums.Length; i++) { for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) { dp[j] += dp[j - nums[i]]; } } return dp[bagSize]; } } ```

class Solution { public: int findTargetSumWays(vector& nums, int target) { int sum = 0; for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i]; if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案 if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案 int bagSize = (target + sum) / 2; vector> dp(nums.size(), vector(bagSize + 1, 0)); if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1; dp[0][0] = 1; int numZero = 0; for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { if (nums[i] == 0) numZero++; dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero); } for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]; } } for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { cout << dp[i][j] << " "; } cout << endl; } return dp[nums.size() - 1][bagSize]; } }; 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 3 3 1 0 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 初始化如果没有0， dp[i][0] = 1; 即所有元素都不取。用元素取与不取来举例