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problems/0516.最长回文子序列.md

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+## 516.最长回文子序列
+题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-subsequence/
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+给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。
+
+示例 1:
+输入: "bbbab"
+输出: 4
+一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。
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+示例 2:
+输入:"cbbd"
+输出: 2
+一个可能的最长回文子序列为 "bb"。
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+提示：
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+* 1 <= s.length <= 1000
+* s 只包含小写英文字母
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+## 思路
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+我们刚刚做过了 [动态规划：回文子串](https://mp.weixin.qq.com/s/2WetyP6IYQ6VotegepVpEw)，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。
+
+**回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！** 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。
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+回文子串，可以做这两题：
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+* 647.回文子串
+* 5.最长回文子串
+
+思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。
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+动规五部曲分析如下：
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+1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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+**dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]**。
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+2. 确定递推公式
+
+在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
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+如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
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+如图：
+![516.最长回文子序列](https://img-blog.csdnimg.cn/20210127151350563.jpg)
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+（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）
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+如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
+
+加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
+
+加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
+
+那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
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+![516.最长回文子序列1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210127151420476.jpg)
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+代码如下：
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+```C++
+if (s[i] == s[j]) {
+    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
+} else {
+    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
+}
+```
+
+3. dp数组如何初始化
+
+首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
+
+所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
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+其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
+
+```C++
+vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
+for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
+```
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+4. 确定遍历顺序
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+从递推公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 和 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1] 和 dp[i + 1][j]，
+
+也就是从矩阵的角度来说，dp[i][j] 下一行的数据。 **所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证，下一行的数据是经过计算的**。
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+递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2，dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 分别对应着下图中的红色箭头方向，如图：
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+![516.最长回文子序列2](https://img-blog.csdnimg.cn/20210127151452993.jpg)
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+代码如下：
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+```C++
+for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
+    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
+        if (s[i] == s[j]) {
+            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
+        } else {
+            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
+        }
+    }
+}
+```
+
+5. 举例推导dp数组
+
+输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：
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+![516.最长回文子序列3](https://img-blog.csdnimg.cn/20210127151521432.jpg)
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+红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。
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+以上分析完毕，C++代码如下：
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+```C++
+class Solution {
+public:
+    int longestPalindromeSubseq(string s) {
+        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
+        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
+        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
+            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
+                if (s[i] == s[j]) {
+                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
+                } else {
+                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
+                }
+            }
+        }
+        return dp[0][s.size() - 1];
+    }
+};
+```
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