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problems/0392.判断子序列.md

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+## 392.判断子序列
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+题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/is-subsequence/
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+给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
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+字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。
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+示例 1：
+输入：s = "abc", t = "ahbgdc"
+输出：true
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+示例 2：
+输入：s = "axc", t = "ahbgdc"
+输出：false
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+提示：
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+* 0 <= s.length <= 100
+* 0 <= t.length <= 10^4
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+两个字符串都只由小写字符组成。
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+## 思路
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+（这道题可以用双指针的思路来实现，时间复杂度就是O(n)）
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+这道题应该算是编辑距离的入门题目，因为从题意中我们也可以发现，只需要计算删除的情况，不用考虑增加和替换的情况。
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+**所以掌握本题也是对后面要讲解的编辑距离的题目打下基础**。
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+动态规划五部曲分析如下：
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+1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
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+**dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]**。
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+注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。
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+有同学问了，为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？
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+用i来表示也可以！
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+但我统一以下标i-1为结尾的字符串来计算，这样在下面的递归公式中会容易理解一些，如果还有疑惑，可以继续往下看。
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+2. 确定递推公式
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+在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：
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+* if (s[i - 1] == t[j - 1])
+    * t中找到了一个字符在s中也出现了
+* if (s[i - 1] != t[j - 1])
+    * 相当于t要删除元素，继续匹配
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+if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1（**如果不理解，在回看一下dp[i][j]的定义**）
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+if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];
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+3. dp数组如何初始化
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+从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。
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+这里大家已经可以发现，在定义dp[i][j]含义的时候为什么要**表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]**。
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+因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间，如图：
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+![392.判断子序列](https://img-blog.csdnimg.cn/20210303173115966.png)
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+如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。
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+这里dp[i][0]和dp[0][j]是没有含义的，仅仅是为了给递推公式做前期铺垫，所以初始化为0。
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+**其实这里只初始化dp[i][0]就够了，但一起初始化也方便，所以就一起操作了**，代码如下：
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+```
+vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
+```
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+4. 确定遍历顺序
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+同理从从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右
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+如图所示：
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+![392.判断子序列1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210303172354155.jpg)
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+5. 举例推导dp数组
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+以示例一为例，输入：s = "abc", t = "ahbgdc"，dp状态转移图如下：
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+![392.判断子序列2](https://img-blog.csdnimg.cn/2021030317364166.jpg)
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+dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度，所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明：s与t的最长相同子序列就是s，那么s 就是 t 的子序列。
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+图中dp[s.size()][t.size()] = 3， 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列，返回true。
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+动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
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+```C++
+class Solution {
+public:
+    bool isSubsequence(string s, string t) {
+        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
+        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
+            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
+                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
+                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
+            }
+        }
+        if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
+        return false;
+    }
+};
+```
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+* 时间复杂度：O(n * m)
+* 空间复杂度：O(n * m)
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+## 总结
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+这道题目算是编辑距离的入门题目（毕竟这里只是涉及到减法），也是动态规划解决的经典题型。
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+这一类题都是题目读上去感觉很复杂，模拟一下也发现很复杂，用动规分析完了也感觉很复杂，但是最终代码却很简短。
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+编辑距离的题目最能体现出动规精髓和巧妙之处，大家可以好好体会一下。
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