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problems/0322.零钱兑换.md

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+# 动态规划： 给我个机会，我再兑换一次零钱
+
+## 322. 零钱兑换
+
+题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/
+
+给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
+
+你可以认为每种硬币的数量是无限的。
+
+示例 1：
+输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
+输出：3
+解释：11 = 5 + 5 + 1
+
+示例 2：
+输入：coins = [2], amount = 3
+输出：-1
+
+示例 3：
+输入：coins = [1], amount = 0
+输出：0
+
+示例 4：
+输入：coins = [1], amount = 1
+输出：1
+
+示例 5：
+输入：coins = [1], amount = 2
+输出：2
+ 
+提示：
+
+* 1 <= coins.length <= 12
+* 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
+* 0 <= amount <= 10^4
+
+## 思路
+
+在[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！
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+题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
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+动规五部曲分析如下：
+
+1. 确定dp数组以及下标的含义
+
+**dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]**
+
+2. 确定递推公式
+
+得到dp[j]（考虑coins[i]），只有一个来源，dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]）。
+
+凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
+
+所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
+
+递推公式：dp[j] =  min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
+
+3. dp数组如何初始化
+
+首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
+
+其他下标对应的数值呢？
+
+考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
+
+所以下标非0的元素都是应该是最大值。
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+代码如下：
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+```
+vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
+dp[0] = 0;
+```
+
+4. 确定遍历顺序
+
+本题求钱币最小个数，**那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。**。
+
+所以本题并不强调集合是组合还是排列。
+
+**如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。
+
+**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。
+
+在动态规划专题我们讲过了求组合数是[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)，求排列数是[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://mp.weixin.qq.com/s/Iixw0nahJWQgbqVNk8k6gA)。
+
+**所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！**
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+那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。
+
+本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
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+综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
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+5. 举例推导dp数组
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+以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
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+![322.零钱兑换](https://img-blog.csdnimg.cn/20210201111833906.jpg)
+
+dp[amount]为最终结果。
+
+## C++代码
+以上分析完毕，C++ 代码如下：
+
+```C++
+// 版本一
+class Solution {
+public:
+    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
+        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
+        dp[0] = 0;
+        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
+            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
+                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
+                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
+                }
+            }
+        }
+        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
+        return dp[amount];
+    }
+};
+```
+
+对于遍历方式遍历背包放在外循环，遍历物品放在内循环也是可以的，我就直接给出代码了
+
+```C++
+// 版本二
+class Solution {
+public:
+    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
+        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
+        dp[0] = 0;
+        for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍历背包
+            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
+                if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
+                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
+                }
+            }
+        }
+        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
+        return dp[amount];
+    }
+};
+```
+
+## 总结
+
+细心的同学看网上的题解，**可能看一篇是遍历背包的for循环放外面，看一篇又是遍历背包的for循环放里面，看多了都看晕了**，到底两个for循环应该是什么先后关系。
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+能把遍历顺序讲明白的文章几乎找不到！
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+这也是大多数同学学习动态规划的苦恼所在，有的时候递推公式很简单，难在遍历顺序上！
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+但最终又可以稀里糊涂的把题目过了，也不知道为什么这样可以过，反正就是过了，哈哈
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+那么这篇文章就把遍历顺序分析的清清楚楚。
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+[动态规划：518.零钱兑换II](https://mp.weixin.qq.com/s/PlowDsI4WMBOzf3q80AksQ)中求的是组合数，[动态规划：377. 组合总和 Ⅳ](https://mp.weixin.qq.com/s/Iixw0nahJWQgbqVNk8k6gA)中求的是排列数。
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+**而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！**
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+这也是我为什么要先讲518.零钱兑换II 然后再讲本题即：322.零钱兑换，这是Carl的良苦用心那。
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+相信大家看完之后，对背包问题中的遍历顺序又了更深的理解了。
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+> **相信很多小伙伴刷题的时候面对力扣上近两千道题目，感觉无从下手，我花费半年时间整理了Github项目：「力扣刷题攻略」[https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master](https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master)。 里面有100多道经典算法题目刷题顺序、配有40w字的详细图解，常用算法模板总结，以及难点视频讲解，按照list一道一道刷就可以了！star支持一波吧！**
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+* Github：[leetcode-master](https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master)
+* 知乎：[代码随想录](https://www.zhihu.com/people/sun-xiu-yang-64)
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