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problems/背包问题理论基础多重背包.md

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+# 动态规划：关于多重背包，你该了解这些！
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+之前我们已经体统的讲解了01背包和完全背包，如果没有看过的录友，建议先把如下三篇文章仔细阅读一波。
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+* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w)
+* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)
+* [动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/akwyxlJ4TLvKcw26KB9uJw)
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+这次我们再来说一说多重背包
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+## 多重背包
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+对于多重背包，我在力扣上还没发现对应的题目，所以这里就做一下简单介绍，大家大概了解一下。
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+有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。
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+多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？
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+每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。
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+例如：
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+背包最大重量为10。
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+物品为：
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+|       | 重量 | 价值 | 数量 |
+| ---   | ---  | ---  | ---  |
+| 物品0 | 1    | 15   | 2    |
+| 物品1 | 3    | 20   | 3    |
+| 物品2 | 4    | 30   | 2    |
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+问背包能背的物品最大价值是多少？
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+和如下情况有区别么？
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+|       | 重量 | 价值 | 数量 |
+| ---   | ---  | ---  | ---  |
+| 物品0 | 1    | 15   | 1    |
+| 物品0 | 1    | 15   | 1    |
+| 物品1 | 3    | 20   | 1    |
+| 物品1 | 3    | 20   | 1    |
+| 物品1 | 3    | 20   | 1    |
+| 物品2 | 4    | 30   | 1    |
+| 物品2 | 4    | 30   | 1    |
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+毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。
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+这种方式来实现多重背包的代码如下：
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+
+```C++
+void test_multi_pack() {
+    vector<int> weight = {1, 3, 4};
+    vector<int> value = {15, 20, 30};
+    vector<int> nums = {2, 3, 2};
+    int bagWeight = 10;
+    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
+        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
+            weight.push_back(weight[i]);
+            value.push_back(value[i]);
+            nums[i]--;
+        }
+    }
+
+    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
+    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
+            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+        }
+        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
+            cout << dp[j] << " ";
+        }
+        cout << endl;
+    }
+    cout << dp[bagWeight] << endl;
+
+}
+int main() {
+    test_multi_pack();
+}
+
+```
+
+* 时间复杂度：O(m * n * k)  m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量
+
+也有另一种实现方式，就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。
+
+代码如下：（详看注释）
+
+
+```C++
+void test_multi_pack() {
+    vector<int> weight = {1, 3, 4};
+    vector<int> value = {15, 20, 30};
+    vector<int> nums = {2, 3, 2};
+    int bagWeight = 10;
+    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
+
+
+    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
+            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
+            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
+                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
+            }
+        }
+        // 打印一下dp数组
+        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
+            cout << dp[j] << " ";
+        }
+        cout << endl;
+    }
+    cout << dp[bagWeight] << endl;
+}
+int main() {
+    test_multi_pack();
+}
+```
+
+* 时间复杂度：O(m * n * k)  m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量
+
+从代码里可以看出是01背包里面在加一个for循环遍历一个每种商品的数量。 和01背包还是如出一辙的。
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+当然还有那种二进制优化的方法，其实就是把每种物品的数量，打包成一个个独立的包。
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+和以上在循环遍历上有所不同，因为是分拆为各个包最后可以组成一个完整背包，具体原理我就不做过多解释了，大家了解一下就行，面试的话基本不会考完这个深度了，感兴趣可以自己深入研究一波。
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+## 总结
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+多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。
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+至于背包九讲里面还有混合背包，二维费用背包，分组背包等等这些，大家感兴趣可以自己去学习学习，这里也不做介绍了，面试也不会考。
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