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# 拓扑排序精讲
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[卡码网：软件构建](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1191)
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题目描述：
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某个大型软件项目的构建系统拥有 N 个文件，文件编号从 0 到 N - 1，在这些文件中，某些文件依赖于其他文件的内容，这意味着如果文件 A 依赖于文件 B，则必须在处理文件 A 之前处理文件 B （0 <= A, B <= N - 1）。请编写一个算法，用于确定文件处理的顺序。
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输入描述：
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第一行输入两个正整数 M, N。表示 N 个文件之间拥有 M 条依赖关系。
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后续 M 行，每行两个正整数 S 和 T，表示 T 文件依赖于 S 文件。
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输出描述：
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输出共一行，如果能处理成功，则输出文件顺序，用空格隔开。
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如果不能成功处理（相互依赖），则输出 -1。
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输入示例：
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```
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5 4
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0 1
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0 2
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1 3
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2 4
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```
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输出示例：
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0 1 2 3 4
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提示信息：
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文件依赖关系如下：
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所以，文件处理的顺序除了示例中的顺序，还存在
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0 2 4 1 3
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0 2 1 3 4
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等等合法的顺序。
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数据范围：
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* 0 <= N <= 10 ^ 5
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* 1 <= M <= 10 ^ 9
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## 拓扑排序的背景
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本题是拓扑排序的经典题目。
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一聊到 拓扑排序，一些录友可能会想这是排序，不会想到这是图论算法。
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其实拓扑排序是经典的图论问题。
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先说说 拓扑排序的应用场景。
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大学排课，例如 先上A课，才能上B课，上了B课才能上C课，上了A课才能上D课，等等一系列这样的依赖顺序。 问给规划出一条 完整的上课顺序。
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拓扑排序在文件处理上也有应用，我们在做项目安装文件包的时候，经常发现 复杂的文件依赖关系， A依赖B，B依赖C，B依赖D，C依赖E 等等。
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如果给出一条线性的依赖顺序来下载这些文件呢？
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有录友想上面的例子都很简单啊，我一眼能给排序出来。
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那如果上面的依赖关系是一百对呢，一千对甚至上万个依赖关系，这些依赖关系中可能还有循环依赖，你如何发现循环依赖呢，又如果排出线性顺序呢。
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所以 拓扑排序就是专门解决这类问题的。
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概括来说，**给出一个 有向图，把这个有向图转成线性的排序 就叫拓扑排序**。
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当然拓扑排序也要检测这个有向图 是否有环，即存在循环依赖的情况，因为这种情况是不能做线性排序的。
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所以**拓扑排序也是图论中判断有向无环图的常用方法**。
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## 拓扑排序的思路
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拓扑排序指的是一种 解决问题的大体思路， 而具体算法，可能是广搜也可能是深搜。
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大家可能发现 各式各样的解法，纠结哪个是拓扑排序？
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其实只要能在把 有向无环图 进行线性排序 的算法 都可以叫做 拓扑排序。
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实现拓扑排序的算法有两种：卡恩算法（BFS）和DFS
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> 卡恩1962年提出这种解决拓扑排序的思路
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一般来说我们只需要掌握 BFS （广度优先搜索）就可以了，清晰易懂，如果还想多了解一些，可以再去学一下 DFS 的思路，但 DFS 不是本篇重点。
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接下来我们来讲解BFS的实现思路。
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以题目中示例为例如图：
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做拓扑排序的话，如果肉眼去找开头的节点，一定能找到 节点0 吧，都知道要从节点0 开始。
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但为什么我们能找到 节点0呢，因为我们肉眼看着 这个图就是从 节点0出发的。
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作为出发节点，它有什么特征？
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你看节点0 的入度 为0 出度为2， 也就是 没有边指向它，而它有两条边是指出去的。
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> 节点的入度表示 有多少条边指向它，节点的出度表示有多少条边 从该节点出发。
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所以当我们做拓扑排序的时候，应该优先找 入度为 0 的节点，只有入度为0，它才是出发节点。
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**理解以上内容很重要**！
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接下来我给出 拓扑排序的过程，其实就两步：
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1. 找到入度为0 的节点，加入结果集
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2. 将该节点从图中移除
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循环以上两步，直到 所有节点都在图中被移除了。
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结果集的顺序，就是我们想要的拓扑排序顺序 （结果集里顺序可能不唯一）
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## 模拟过程
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用本题的示例来模拟一下这一过程：
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1、找到入度为0 的节点，加入结果集
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2、将该节点从图中移除
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1、找到入度为0 的节点，加入结果集
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这里大家会发现，节点1 和 节点2 入度都为0， 选哪个呢？
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选哪个都行，所以这也是为什么拓扑排序的结果是不唯一的。
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2、将该节点从图中移除
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1、找到入度为0 的节点，加入结果集
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节点2 和 节点3 入度都为0，选哪个都行，这里选节点2
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2、将该节点从图中移除
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后面的过程一样的，节点3 和 节点4，入度都为0，选哪个都行。
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最后结果集为： 0 1 2 3 4 。当然结果不唯一的。
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## 判断有环
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如果有 有向环怎么办呢？例如这个图：
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这个图，我们只能将入度为0 的节点0 接入结果集。
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之后，节点1、2、3、4 形成了环，找不到入度为0 的节点了，所以此时结果集里只有一个元素。
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那么如果我们发现结果集元素个数 不等于 图中节点个数，我们就可以认定图中一定有 有向环！
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这也是拓扑排序判断有向环的方法。
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通过以上过程的模拟大家会发现这个拓扑排序好像不难，还有点简单。
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## 写代码
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理解思想后，确实不难，但代码写起来也不容易。
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为了每次可以找到所有节点的入度信息，我们要在初始话的时候，就把每个节点的入度 和 每个节点的依赖关系做统计。
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代码如下：
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```CPP
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cin >> n >> m;
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vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
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vector<int> result; // 记录结果
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unordered_map<int, vector<int>> umap; // 记录文件依赖关系
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while (m--) {
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// s->t，先有s才能有t
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cin >> s >> t;
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inDegree[t]++; // t的入度加一
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umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
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}
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```
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找入度为0 的节点，我们需要用一个队列放存放。
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因为每次寻找入度为0的节点，不一定只有一个节点，可能很多节点入度都为0，所以要将这些入度为0的节点放到队列里，依次去处理。
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代码如下：
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```CPP
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queue<int> que;
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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// 入度为0的节点，可以作为开头，先加入队列
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if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
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}
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```
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开始从队列里遍历入度为0 的节点，将其放入结果集。
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```CPP
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while (que.size()) {
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int cur = que.front(); // 当前选中的节点
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que.pop();
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result.push_back(cur);
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// 将该节点从图中移除
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}
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```
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这里面还有一个很重要的过程，如何把这个入度为0的节点从图中移除呢？
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首先我们为什么要把节点从图中移除？
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为的是将 该节点作为出发点所连接的边删掉。
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删掉的目的是什么呢？
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要把 该节点作为出发点所连接的节点的 入度 减一。
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如果这里不理解，看上面的模拟过程第一步：
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这事节点1 和 节点2 的入度为 1。
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将节点0删除后，图为这样：
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那么 节点0 作为出发点 所连接的节点的入度 就都做了 减一 的操作。
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此时 节点1 和 节点 2 的入度都为0， 这样才能作为下一轮选取的节点。
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所以，我们在代码实现的过程中，本质是要将 该节点作为出发点所连接的节点的 入度 减一 就可以了，这样好能根据入度找下一个节点，不用真在图里把这个节点删掉。
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该过程代码如下：
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```CPP
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while (que.size()) {
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int cur = que.front(); // 当前选中的节点
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que.pop();
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result.push_back(cur);
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// 将该节点从图中移除
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vector<int> files = umap[cur]; //获取cur指向的节点
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if (files.size()) { // 如果cur有指向的节点
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for (int i = 0; i < files.size(); i++) { // 遍历cur指向的节点
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inDegree[files[i]] --; // cur指向的节点入度都做减一操作
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// 如果指向的节点减一之后，入度为0，说明是我们要选取的下一个节点，放入队列。
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if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
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}
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}
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}
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```
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最后代码如下：
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```CPP
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#include <iostream>
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#include <vector>
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#include <queue>
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#include <unordered_map>
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using namespace std;
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int main() {
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int m, n, s, t;
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cin >> n >> m;
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vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个节点的入度
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unordered_map<int, vector<int>> umap;// 记录节点依赖关系
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vector<int> result; // 记录结果
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while (m--) {
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// s->t，先有s才能有t
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cin >> s >> t;
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inDegree[t]++; // t的入度加一
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umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些节点
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||||
}
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queue<int> que;
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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// 入度为0的节点，可以作为开头，先加入队列
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if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
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//cout << inDegree[i] << endl;
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}
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// int count = 0;
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while (que.size()) {
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int cur = que.front(); // 当前选中的节点
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que.pop();
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//count++;
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result.push_back(cur);
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||||
vector<int> files = umap[cur]; //获取该节点指向的节点
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||||
if (files.size()) { // cur有后续节点
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||||
for (int i = 0; i < files.size(); i++) {
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||||
inDegree[files[i]] --; // cur的指向的节点入度-1
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||||
if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
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}
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}
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}
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// 判断是否有有向环
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if (result.size() == n) {
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// 注意输出格式，最后一个元素后面没有空格
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for (int i = 0; i < n - 2; i++) cout << result[i] << " ";
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cout << result[n - 1];
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} else cout << -1 << endl;
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}
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```
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