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This commit is contained in:
programmercarl
@@ -49,7 +49,7 @@
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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如果跟着「代码随想录」一起学过[回溯算法系列](https://programmercarl.com/回溯总结.html)的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以爆搜出来。
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如果跟着「代码随想录」一起学过[回溯算法系列](https://programmercarl.com/回溯总结.html)的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以暴搜出来。
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事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时。
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@@ -118,9 +118,7 @@ public:
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也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规吧
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### 动态规划
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如何转化为01背包问题呢。
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### 动态规划 （二维dp数组）
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假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。
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@@ -132,7 +130,7 @@ x = (target + sum) / 2
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这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。
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大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。
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大家看到`(target + sum) / 2` 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。
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这么担心就对了，例如sum是5，target是2 的话其实就是无解的，所以：
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@@ -147,8 +145,6 @@ if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
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if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
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```
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再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？
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因为每个物品（题目中的1）只用一次！
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这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
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@@ -157,59 +153,260 @@ if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
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先用 二维 dp数组求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
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其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
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下面我都是统一使用一维数组进行讲解， 二维降为一维（滚动数组），其实就是上一层拷贝下来，这个我在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)也有介绍。
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01背包为什么这么定义dp数组，我在[0-1背包理论基础](https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html)中 确定dp数组的含义里讲解过。
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2. 确定递推公式
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有哪些来源可以推出dp[j]呢？
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我们先手动推导一下，这个二维数组里面的数值。
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只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
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先只考虑物品0，如图：
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例如：dp[j]，j 为5，
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* 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
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* 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
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* 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
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* 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
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* 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包
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（这里的所有物品，都是题目中的数字1）。
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那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
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装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
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所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
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装满背包容量为1 的方法个数是1，即 放物品0。
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装满背包容量为2 的方法个数是0，目前没有办法能装满容量为2的背包。
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接下来 考虑 物品0 和 物品1，如图：
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装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
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装满背包容量为1 的方法个数是2，即 放物品0 或者 放物品1。
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装满背包容量为2 的方法个数是1，即 放物品0 和 放物品1。
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其他容量都不能装满，所以方法是0。
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接下来 考虑 物品0 、物品1 和 物品2 ，如图：
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装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。
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装满背包容量为1 的方法个数是3，即 放物品0 或者 放物品1 或者 放物品2。
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装满背包容量为2 的方法个数是3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品 2、 放物品1 和 物品2。
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装满背包容量为3的方法个数是1，即 放物品0 和 物品1 和 物品2。
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通过以上举例，我们来看 dp[2][2] 可以有哪些方向推出来。
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如图红色部分：
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dp[2][2] = 3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品 2、放物品1 和 物品2， 如图所示，三种方法：
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**容量为2 的背包，如果不放 物品2 有几种方法呢**？
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有 dp[1][2] 种方法，即 背包容量为2，只考虑物品0 和 物品1 ，有 dp[1][2] 种方法，如图：
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**容量为2 的背包， 如果放 物品2 有几种方法呢**？
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首先 要在背包里 先把物品2的容量空出来， 装满 刨除物品2容量 的背包 有几种方法呢？
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刨除物品2容量后的背包容量为 1。
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此时装满背包容量为1 有 dp[1][1] 种方法，即： 不放物品2，背包容量为1，只考虑物品 0 和 物品 1，有 dp[1][1] 种方法。
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如图：
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有录友可能疑惑，这里计算的是放满 容量为2的背包 有几种方法，那物品2去哪了？
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在上面图中，你把物品2补上就好，同样是两种方法。
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dp[2][2] = 容量为2的背包不放物品2有几种方法 + 容量为2的背包不放物品2有几种方法
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所以 dp[2][2] = dp[1][2] + dp[1][1] ，如图：
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以上过程，抽象化如下：
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* **不放物品i**：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。
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* **放物品i**： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。
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本题中，物品i的容量是nums[i]，价值也是nums[i]。
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递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
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考到这个递推公式，我们应该注意到，`j - nums[i]` 作为数组下标，如果 `j - nums[i]` 小于零呢？
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说明背包容量装不下 物品i，所以此时装满背包的方法值 等于 不放物品i的装满背包的方法，即：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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所以递推公式：
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```CPP
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if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
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```
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dp[j] += dp[j - nums[i]]
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3. dp数组如何初始化
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先明确递推的方向，如图，求解 dp[2][2] 是由 上方和左上方推出。
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那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分：
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关于dp[0][0]的值，在上面的递推公式讲解中已经讲过，装满背包容量为0 的方法数量是1，即 放0件物品。
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那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？
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dp[0][j]：只放物品0， 把容量为j的背包填满有几种方法。
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只有背包容量为 物品0 的容量的时候，方法为1，正好装满。
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其他情况下，要不是装不满，要不是装不下。
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所以初始化：dp[0][nums[0]] = 1 ，其他均为0 。
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表格最左列也要初始化，dp[i][0] : 背包容量为0， 放物品0 到 物品i，装满有几种方法。
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都是有一种方法，就是放0件物品。
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即 dp[i][0] = 1
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4. 确定遍历顺序
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在明确递推方向时，我们知道 当前值 是由上方和左上方推出。
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那么我们的遍历顺序一定是 从上到下，从左到右。
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因为只有这样，我们才能基于之前的数值做推导。
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例如下图，如果上方没数值，左上方没数值，就无法推出 dp[2][2]。
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那么是先 从上到下 ，再从左到右遍历，例如这样：
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```CPP
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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}
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}
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```
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还是先 从左到右，再从上到下呢，例如这样：
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```CPP
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
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}
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}
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```
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**其实以上两种遍历都可以**！ （但仅针对二维DP数组是这样的）
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这一点我在 [01背包理论基础](https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html)中的 遍历顺序部分讲过。
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这里我再画图讲一下，以求dp[2][2]为例，当先从上到下，再从左到右遍历，矩阵是这样：
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当先从左到右，再从上到下遍历，矩阵是这样：
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这里大家可以看出，无论是以上哪种遍历，都不影响 dp[2][2]的求值，用来 推导 dp[2][2] 的数值都在。
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5. 举例推导dp数组
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输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
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bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
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dp数组状态变化如下：
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这么大的矩阵，我们是可以自己手动模拟出来的。
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在模拟的过程中，既可以帮我们寻找规律，也可以帮我们验证 递推公式加遍历顺序是不是按照我们想象的结果推进的。
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最后二维dp数组的C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
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int sum = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
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if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
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if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
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int bagSize = (target + sum) / 2;
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vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(bagSize + 1, 0));
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// 初始化最上行
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if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1;
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// 初始化最左列，最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
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dp[0][0] = 1;
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int numZero = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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if (nums[i] == 0) numZero++;
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dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
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}
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// 以下遍历顺序行列可以颠倒
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
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if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
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}
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}
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return dp[nums.size() - 1][bagSize];
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}
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};
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```
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### 动态规划 （一维dp数组）
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将二维dp数组压缩成一维dp数组，我们在 [01背包理论基础（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html) 讲过滚动数组，原理是一样的，即重复利用每一行的数值。
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既然是重复利用每一行，就是将二维数组压缩成一行。
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dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
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2. 确定递推公式
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二维DP数组递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];`
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去掉维度i 之后，递推公式：`dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]]` ，即：`dp[j] += dp[j - nums[i]]`
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**这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！**
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3. dp数组如何初始化
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从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
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这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。
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其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。
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如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。
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所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。
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可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。
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其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。
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dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。
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在上面 二维dp数组中，我们讲解过 dp[0][0] 初始为1，这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。
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4. 确定遍历顺序
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
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在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。
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遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。
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5. 举例推导dp数组
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@@ -221,7 +418,9 @@ dp数组状态变化如下：
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C++代码如下：
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大家可以和 二维dp数组的打印结果做一下对比。
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一维DP的C++代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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@@ -248,23 +447,51 @@ public:
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* 空间复杂度：O(m)，m为背包容量
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### 拓展
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关于一维dp数组的递推公式解释，也可以从以下维度来理解。 （**但还是从二维DP数组到一维DP数组这样更容易理解一些**）
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2. 确定递推公式
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有哪些来源可以推出dp[j]呢？
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只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
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例如：dp[j]，j 为5，
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* 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
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* 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
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||||
* 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
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||||
* 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
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||||
* 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包
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那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
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所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
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```
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dp[j] += dp[j - nums[i]]
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```
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## 总结
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此时 大家应该不禁想起，我们之前讲过的[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)是不是应该也可以用dp来做啊？
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是的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法爆搜的。
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是可以求的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但[回溯算法：39. 组合总和](https://programmercarl.com/0039.组合总和.html)要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法暴搜的。
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本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：
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本题还是有点难度，理解上从二维DP数组更容易理解，做题上直接用一维DP更简洁一些。
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大家可以选择哪种方式自己更容易理解。
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在后面得题目中，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：
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```CPP
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dp[j] += dp[j - nums[i]];
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```
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后面我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！
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我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！
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## 其他语言版本
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@@ -359,13 +586,6 @@ class Solution {
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}
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}
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||||
// 打印dp数组
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||||
// for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
|
||||
// for(int j = 0; j <= left; j++) {
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||||
// System.out.print(dp[i][j] + " ");
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||||
// }
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||||
// System.out.println("");
|
||||
// }
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||||
|
||||
return dp[nums.length - 1][left];
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||||
@@ -656,51 +876,3 @@ public class Solution
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<img src="../pics/网站星球宣传海报.jpg" width="1000"/>
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</a>
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class Solution {
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public:
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int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
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int sum = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
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if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
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if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
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int bagSize = (target + sum) / 2;
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vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(bagSize + 1, 0));
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if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1;
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dp[0][0] = 1;
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int numZero = 0;
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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if (nums[i] == 0) numZero++;
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dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
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}
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for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
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if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
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}
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}
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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
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for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
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cout << dp[i][j] << " ";
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}
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cout << endl;
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}
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return dp[nums.size() - 1][bagSize];
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}
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};
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1 1 0 0 0
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1 2 1 0 0
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1 3 3 1 0
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1 4 6 4 1
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1 5 10 10 5
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初始化 如果没有0， dp[i][0] = 1; 即所有元素都不取。
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用元素 取与不取来举例
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