更新图床
This commit is contained in:
programmercarl
@@ -1,12 +1,14 @@
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<p align="center">
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<a href="https://programmercarl.com/other/xunlianying.html" target="_blank">
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<img src="../pics/训练营.png" width="1000"/>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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> 20张树形结构图、14道精选回溯题目，21篇回溯法精讲文章，由浅入深，一气呵成，这是全网最强回溯算法总结！
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# 回溯法理论基础
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# 回溯法理论基础
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转眼间[「代码随想录」](https://img-blog.csdnimg.cn/20200815195519696.png)里已经分享连续讲解了21天的回溯算法，是时候做一个大总结了，本篇高能，需要花费很大的精力来看！
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@@ -49,9 +51,9 @@ void backtracking(参数) {
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**事实证明这个模板会伴随整个回溯法系列！**
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# 组合问题
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# 组合问题
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## 组合问题
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## 组合问题
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在[回溯算法：求组合问题！](https://programmercarl.com/0077.组合.html)中，我们开始用回溯法解决第一道题目：组合问题。
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@@ -61,17 +63,17 @@ void backtracking(参数) {
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本题我把回溯问题抽象为树形结构，如题：
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可以直观的看出其搜索的过程：**for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集**，这个理念贯穿整个回溯法系列，也是我做了很多回溯的题目，不断摸索其规律才总结出来的。
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对于回溯法的整体框架，网上搜的文章这块都说不清楚，按照天上掉下来的代码对着讲解，不知道究竟是怎么来的，也不知道为什么要这么写。
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对于回溯法的整体框架，网上搜的文章这块都说不清楚，按照天上掉下来的代码对着讲解，不知道究竟是怎么来的，也不知道为什么要这么写。
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**所以，录友们刚开始学回溯法，起跑姿势就很标准了！**
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优化回溯算法只有剪枝一种方法，在[回溯算法：组合问题再剪剪枝](https://programmercarl.com/0077.组合优化.html)中把回溯法代码做了剪枝优化，树形结构如图：
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大家可以一目了然剪的究竟是哪里。
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@@ -87,11 +89,11 @@ void backtracking(参数) {
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在[回溯算法：求组合总和！](https://programmercarl.com/0216.组合总和III.html)中，相当于 [回溯算法：求组合问题！](https://programmercarl.com/0077.组合.html)加了一个元素总和的限制。
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树形结构如图：
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整体思路还是一样的，本题的剪枝会好想一些，即：**已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉**，如图：
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在本题中，依然还可以有一个剪枝，就是[回溯算法：组合问题再剪剪枝](https://programmercarl.com/0077.组合优化.html)中提到的，对for循环选择的起始范围的剪枝。
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@@ -113,7 +115,7 @@ void backtracking(参数) {
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树形结构如下：
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最后还给出了本题的剪枝优化，如下：
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@@ -123,7 +125,7 @@ for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target;
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优化后树形结构如下：
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### 组合总和（三）
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@@ -138,7 +140,7 @@ for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target;
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都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上“使用过”，一个维度是同一树层上“使用过”。**没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因**。
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我在图中将used的变化用橘黄色标注上，**可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：**
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@@ -159,7 +161,7 @@ for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target;
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树形结构如下：
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如果大家在现场面试的时候，一定要注意各种输入异常的情况，例如本题输入1 * #按键。
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@@ -187,10 +189,10 @@ for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target;
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树形结构如下：
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# 子集问题
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# 子集问题
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## 子集问题（一）
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@@ -198,7 +200,7 @@ for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target;
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如图：
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认清这个本质之后，今天的题目就是一道模板题了。
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@@ -225,23 +227,23 @@ if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
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树形结构如下：
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## 递增子序列
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在[回溯算法：递增子序列](https://programmercarl.com/0491.递增子序列.html)中，处处都能看到子集的身影，但处处是陷阱，值得好好琢磨琢磨！
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树形结构如下：
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很多同学都会把这道题目和[回溯算法：求子集问题（二）](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)混在一起。
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**[回溯算法：求子集问题（二）](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)也可以使用set针对同一父节点本层去重，但子集问题一定要排序，为什么呢？**
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**[回溯算法：求子集问题（二）](https://programmercarl.com/0090.子集II.html)也可以使用set针对同一父节点本层去重，但子集问题一定要排序，为什么呢？**
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我用没有排序的集合{2,1,2,2}来举个例子画一个图，如下：
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**相信这个图胜过千言万语的解释了**。
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@@ -257,7 +259,7 @@ if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
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如图：
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**大家此时可以感受出排列问题的不同：**
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@@ -270,7 +272,7 @@ if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
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树形结构如下：
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**这道题目神奇的地方就是used[i - 1] == false也可以，used[i - 1] == true也可以！**
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@@ -278,21 +280,21 @@ if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
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树层上去重(used[i - 1] == false)，的树形结构如下：
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树枝上去重（used[i - 1] == true）的树型结构如下：
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**可以清晰的看到使用(used[i - 1] == false)，即树层去重，效率更高！**
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本题used数组即是记录path里都放了哪些元素，同时也用来去重，一举两得。
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# 去重问题
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# 去重问题
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以上我都是统一使用used数组来去重的，其实使用set也可以用来去重！
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在[本周小结！（回溯算法系列三）续集](https://programmercarl.com/回溯算法去重问题的另一种写法.html)中给出了子集、组合、排列问题使用set来去重的解法以及具体代码，并纠正一些同学的常见错误写法。
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在[本周小结！（回溯算法系列三）续集](https://programmercarl.com/回溯算法去重问题的另一种写法.html)中给出了子集、组合、排列问题使用set来去重的解法以及具体代码，并纠正一些同学的常见错误写法。
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同时详细分析了 使用used数组去重 和 使用set去重 两种写法的性能差异：
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@@ -304,7 +306,7 @@ if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
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**使用set去重，不仅时间复杂度高了，空间复杂度也高了**，在[本周小结！（回溯算法系列三）](https://programmercarl.com/周总结/20201112回溯周末总结.html)中分析过，组合，子集，排列问题的空间复杂度都是O(n)，但如果使用set去重，空间复杂度就变成了O(n^2)，因为每一层递归都有一个set集合，系统栈空间是n，每一个空间都有set集合。
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那有同学可能疑惑 用used数组也是占用O(n)的空间啊？
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那有同学可能疑惑 用used数组也是占用O(n)的空间啊？
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used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所以空间复杂度是O(n + n)，最终空间复杂度还是O(n)。
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@@ -316,7 +318,7 @@ used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所
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以输入：[["JFK", "KUL"], ["JFK", "NRT"], ["NRT", "JFK"]为例，抽象为树形结构如下：
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本题可以算是一道hard的题目了，关于本题的难点我在文中已经详细列出。
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@@ -325,19 +327,19 @@ used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所
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本题其实是一道深度优先搜索的题目，但是我完全使用回溯法的思路来讲解这道题题目，**算是给大家拓展一下思维方式，其实深搜和回溯也是分不开的，毕竟最终都是用递归**。
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# 棋盘问题
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# 棋盘问题
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## N皇后问题
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## N皇后问题
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在[回溯算法：N皇后问题](https://programmercarl.com/0051.N皇后.html)中终于迎来了传说中的N皇后。
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下面我用一个3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：
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从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。
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那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，**只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了**。
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那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，**只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了**。
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如果从来没有接触过N皇后问题的同学看着这样的题会感觉无从下手，可能知道要用回溯法，但也不知道该怎么去搜。
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@@ -361,7 +363,7 @@ used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所
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因为这个树形结构太大了，我抽取一部分，如图所示：
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解数独可以说是非常难的题目了，如果还一直停留在一维递归的逻辑中，这道题目可以让大家瞬间崩溃。
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@@ -380,22 +382,27 @@ used数组可是全局变量，每层与每层之间公用一个used数组，所
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以下在计算空间复杂度的时候我都把系统栈（不是数据结构里的栈）所占空间算进去。
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子集问题分析：
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* 时间复杂度：O(2^n)，因为每一个元素的状态无外乎取与不取，所以时间复杂度为O(2^n)
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* 空间复杂度：O(n)，递归深度为n，所以系统栈所用空间为O(n)，每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传的也是引用，并不会新申请内存空间，最终空间复杂度为O(n)
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排列问题分析：
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* 时间复杂度：O(n!)，这个可以从排列的树形图中很明显发现，每一层节点为n，第二层每一个分支都延伸了n-1个分支，再往下又是n-2个分支，所以一直到叶子节点一共就是 n * n-1 * n-2 * ..... 1 = n!。
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* 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。
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组合问题分析：
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* 时间复杂度：O(2^n)，组合问题其实就是一种子集的问题，所以组合问题最坏的情况，也不会超过子集问题的时间复杂度。
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* 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。
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N皇后问题分析：
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N皇后问题分析：
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* 时间复杂度：O(n!) ，其实如果看树形图的话，直觉上是O(n^n)，但皇后之间不能见面所以在搜索的过程中是有剪枝的，最差也就是O（n!），n!表示n * (n-1) * .... * 1。
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* 空间复杂度：O(n)，和子集问题同理。
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解数独问题分析：
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* 时间复杂度：O(9^m) , m是'.'的数目。
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* 空间复杂度：O(n^2)，递归的深度是n^2
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@@ -403,7 +410,7 @@ N皇后问题分析：
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**一般说道回溯算法的复杂度，都说是指数级别的时间复杂度，这也算是一个概括吧！**
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# 总结
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# 总结
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**[「代码随想录」](https://img-blog.csdnimg.cn/20200815195519696.png)历时21天，14道经典题目分析，20张树形图，21篇回溯法精讲文章，从组合到切割，从子集到排列，从棋盘问题到最后的复杂度分析**，至此收尾了。
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@@ -412,11 +419,12 @@ N皇后问题分析：
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可以说方方面面都详细介绍到了。
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例如：
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* 如何理解回溯法的搜索过程？
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* 什么时候用startIndex，什么时候不用？
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* 如何去重？如何理解“树枝去重”与“树层去重”？
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* 什么时候用startIndex，什么时候不用？
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* 如何去重？如何理解“树枝去重”与“树层去重”？
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* 去重的几种方法？
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* 如何理解二维递归？
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* 如何理解二维递归？
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**这里的每一个问题，网上几乎找不到能讲清楚的文章，这也是直击回溯算法本质的问题**。
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@@ -424,11 +432,11 @@ N皇后问题分析：
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此时回溯算法系列就要正式告一段落了。
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**录友们可以回顾一下这21天，每天的打卡，每天在交流群里和大家探讨代码，最终换来的都是不知不觉的成长**。
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**录友们可以回顾一下这21天，每天的打卡，每天在交流群里和大家探讨代码，最终换来的都是不知不觉的成长**。
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同样也感谢录友们的坚持，这也是我持续写作的动力，**正是因为大家的积极参与，我才知道这件事件是非常有意义的**。
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回溯专题汇聚为一张图：
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回溯专题汇聚为一张图：
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